Да, можно.
Основной вариант: К ним пришел молодой врач. Если автору важно подчеркнуть, что это женщина, и по контексту других способов нет (например, нет имени собственного), то возможно: К ним пришла молодая врач. Правила см. в "Письмовнике".
В зависимости от намерений пишущего возможны варианты: А там вдали, в долине, стоял гусарский полк и А там, вдали, в долине, стоял гусарский полк.
Варианты оформления предложения: 1) Думали и гадали: кто нас повезет?; 2) Думали и гадали, кто нас повезет.
Да, точка после кавычек здесь ставится.
Вы написали правильно: Глубокоуважаемая Анастасия, позвольте к Вам обратиться.
См. «Горячие вопросы».
Запятая не ставится.
Нет, фразу нужно переформулировать. Например: ваш визит для нас очень важен.
Оба варианта возможны.
