Помыт – это краткое страдательное причастие прош. времени (ср. с полной формой помытый). Грамматическое значение ед. числа и муж. рода передается нулевым окончанием (ср.: она помыта, оно помыто, они помыты). Суффикс причастия – т, корень – мы, приставка – по (ср. с формами помыть, помылся, мыть, помывшийся).

Смысл этого предложения неясен из-за слова загадываем. Совершенно непонятно, что хотел сказать автор. Слово покупая пишется со строчной буквы, перед ним требуется запятая (она выделяет деепричастный оборот).

Что касается порядка слов, то возможны оба варианта: как первый, так и второй, который предложили Вы.

Это очень наглядная иллюстрация к правилу. Написания в ней верны, но полагаем, понятно, что она содержит художественную условность. Выбор н или нн зависит от того, есть зависимое слово к отглагольному образованию жарен(н)ая или нет: жаренная с грибами картошка, жареная картошка с грибами.

Запятая нужна. Это сложносочиненное предложение без общих компонентов, которые бы отменяли запятую. В первой части грамматическая основа – фирма получила, во второй – она потратила. Если подлежащее второй части выражено личным местоимением, относящимся к подлежащему первой части, то запятая между частями сложносочиненного предложения ставится.

Это действительно так: в официальные документы органов государственной власти проникло безграмотное написание. В. В. Лопатин, ответственный редактор «Русского орфографического словаря» и председатель Орфографической комиссии РАН, говорит об этом так: «У нас появилась Лимпиада». К сожалению, лингвисты здесь уже вряд ли могут что-то поделать.

Устойчивое выражение бог знает (что, где, куда, как...) означает 'неизвестно (что, где, куда, как)' и зачастую употребляется, когда речь идет о чем-либо не очень хорошем: ехали бог знает куда; натворит без нас бог знает что.  Поэтому его употребление в данном предложении неоправданно.

Выбор предлога зависит от того, как именно упала стрела. Если она погрузилась в трясину (представим, что из болота торчит только кончик стрелы), тогда: упала в болото. Если же стрела аккуратно легла на какую-то кочку на поверхности болота и там осталась, тогда: на болото.

Запятая нужна, она отделяет придаточную часть от главной. Поскольку в предложении повторяется слово так и тем самым создается так называемый подхват, лучше использовать еще и тире перед вторым так: 
Точно так, как мы верили в президента, — так и он верит новому директору.

Перед закрывающей кавычкой точка не ставится, она выносится за кавычку (см. пункт 2 параграфа 159 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Автор писал: «Технологический суверенитет — величина относительная и имеет границы».

На родовую принадлежность влияет внешний облик этого слова: вуз — звуковая аббревиатура, пишется по традиции строчными, склоняется, т. е. она максимально «похожа» на обычное имя существительное второго (по школьной грамматике) склонения. Облик слова в данном случае оказался важнее опорного слова заведение.