Правильно с прописной: это Сашина (Лилина, Петина) шляпа.
Предложение построено в целом корректно, но для ясности понимания текста лучше переместить тему обращения ближе к слову обращение и убрать слово проведение; сочетание прямая линия пишется со строчной буквы: Рассмотрено Ваше обращение по вопросу незаконного строительства, поступившее в ходе прямой линии главы РД.
Сочетание горячая линия корректно писать без кавычек: это сочетание уже не воспринимается как новое, необычное, непривычное. Возможно: организация работы горячей линии.
Нужно поставить точку в конце предложения.
Кавычки необходимы.
Фраза построена неудачно. Лучше использовать деепричастный оборот: исследуя цвета и линии...
Запятая нужна.
Существенной разницы нет.
Правильно: действующего.
