Это сочетание предлога и существительного.
Существует слово пазуха - существительное. Этим объясняется раздельное написание выражения за пазухой.
Название штата склонять не нужно: ...штату Монтана.
По-русски верно: Миссисипи. Удвоенные согласные не всегда сохраняются при вхождении иностранных названий в русский язык.
В первом случае возможны варианты, во втором корректно компаниями, участвующими.
Лучше так: Он отдал самое дорогое – свою жизнь за страну, за Победу. Если приложение выражает более конкретное значение, а предшествующее определяемое слово имеет общее или образное значение, то тире ставится только перед приложением.
Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).
