Вы правы, в обоих предложениях сказуемое стоит перед подлежащим. В целом это можно доказать, изменив время на прошедшее: Родиной многих величайших художников... была Россия (подлежащее остается в именительном падеже).

Сочетание союза и и вводного слова наоборот, выделяемого запятыми по общему правилу, возможно, например: Надо самим всё выяснить и доказать невиновность Николая и, наоборот, виновность лодочника. А. Рыбаков, Бронзовая птица. Но в приведенном Вами примере сочетание и наоборот не разделяется запятой.

Это обстоятельство, и это очень легко доказать. Представьте себе, что Вы не расслышали начало предложения и хотите переспросить. Совершенно естественным в такой ситуации будет вопрос «Как прислать?», а не «По чему прислать?», т. е. Вы зададите вопрос, на который отвечает обстоятельство.

Такое правило действует только для наречий, образованных от прилагательных с помощью суффикса -о, например: негромко (тихо), нелегко (трудно), немало (много). С остальными наречиями, а также с неизменяемыми словами, употребляющимися в роли сказуемого, не пишется раздельно, например: не вовремя, не всерьез, не зря, не иначе, не очень, не прочь.

Пунктуация верна. Тире ставится перед словом это, присоединяющим сказуемое (завоевать) к подлежащему (самое важное).

Форма управления «доказать о том» является устаревшей, оценивается как просторечная и не соответствует современным нормам русского языка. Хотя на протяжении XIХ — первой трети ХХ века она была распространена: Признаюсь, у меня было сильное желание, чтобы кто-нибудь из сыновей был легко ранен; это бы вернуло его к нам и заодно доказало о добросовестной службе в строю [К. К. Романов. Дневники. Воспоминания. Стихи. Письма (1914)]. 

Мы можем объявить прилагательное частью синтаксически цельного словосочетания, которое замещает позицию именного компонента сказуемого, исходя из того, что без прилагательного грамматический центр оказывается недостаточным в смысловом отношении. Но тогда нам придется доказывать, что это такое же синтаксически цельное с/с, как, например, количественно-именные с/с (три сестры), которые практически всегда являются одним членом предложения. А доказать это не удастся. Поэтому грамматический центр здесь все-таки была погода, солнечная — определение.
 

Все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, в русском языке склоняются (единственное исключение – фамилии на -ых, -их типа Черных, Долгих), все женские фамилии на согласный несклоняемы. Мужская фамилия Ткачук склоняется, единственно верная форма дательного падежа – Ткачуку. Чтобы доказать это приемной комиссии, воспользуйтесь любым справочником по русскому языку, где есть раздел о склонении собственных имен. Подойдет, например, «Справочник по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (М., 2010, стр. 247).

Сочетания с одной стороны, с другой стороны обособляются как вводные, когда речь идет о разных точках зрения на что-либо, когда противопоставляются разные обстоятельства, мнения, утверждения (с одной стороны, он прав, с другой стороны, это еще надо доказать). 

В рассматриваемой конструкции не идет речь о разных точках зрения, не противопоставляются какие-либо факты или мнения. Здесь существительное сторона употребляется в знач. 'человек, группа людей, организация и т. п., противопоставленные в каком-либо отношении другому человеку, другой группе лиц, организации и т. п.', ср.: враждующие стороны, договаривающиеся стороны, прения сторон и т. д. Никаких оснований для постановки запятых в данном случае нет.