Наречия на -о, образованные от прилагательных и страдательных причастий, пишутся с двойным н или одним н в зависимости от того, как пишется соответствующее прилагательное или причастие. В наречии выстраданно пишется два н, как и в слове выстраданный.

Правильно: выстелем. Глагол стелить и образованные от него приставочные глаголы относятся к I спряжению. Убедиться в этом можно, обратившись к орфографическому словарю, в котором приводятся контрольные формы (или их финали). По контрольным формам можно узнать спряжение глагола.

Если это прилагательное образовано от названия Старый Саров, то нужно писать слитно: старосаровский. Его написание подчиняется правилу: пишутся слитно прилагательные, образованные из основ слов, отношение между которыми носит подчинительный характер, напр.: железнодорожный (железная дорога), каменноугольный (каменный уголь) и др.

Верно: Эйфелева башня. Прилагательное образовано от фамилии Эйфель с помощью суффикса -ев. В русском языке притяжательные прилагательные, образованные таким образом, в форме женского рода единственного числа имеют окончание -а, например: Далев словарь – Далева внучка (от фамилии Даль), государев указ – государева служба.

Сложные прилагательные с первой частью черн-, образованные на базе словосочетаний с подчинительными отношениями компонентов, обычно не содержат звука [о] (на письме — ё) в первой части: чёрная борода > чернобородый, Чёрное море > черноморский (ср. чёрно-белый, где отношения между компонентами сочинительные).

Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с большой буквы, если они являются частью составных географических и административно-территориальных названий (напр.: Саратовская область) или наименований организаций, учреждений (напр.: Саратовский государственный университет). В остальных случаях такие прилагательные пишутся с маленькой буквы, напр.: саратовские улицы, саратовский писатель.

Отглагольные прилагательные, образованные от бесприставочных глаголов несовершенного вида (ломать – что делать?), пишутся с одной Н: ломаная линия, говорить на ломаном языке, гроша ломаного не стоит.

В отличие от отглагольных прилагательных, причастия пишутся с двумя Н. Опознать причастие помогают зависимые слова: ломанная учеником деталь.

В названных существительных выделяются два суффикса: -ов- и -ик-. Единый суффикс -овик- некоторыми исследователями отмечается. Так, в «Словаре морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Ф. Ефремовой слова лесовик и брызговик определены как образованные с помощью именно этого суффикса.

Орфографически правильно дефисное написание: по-умному. Пишутся через дефис наречия, образованные от прилагательных и местоимений,  начинающиеся с по-  и  оканчивающиеся  на -ки, -ьи, -ому, -ему. Других правил не существует. См., например: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2007.