Нет. Рождество – только о празднике рождения Иисуса Христа, о празднике рождения Богородицы: Рождество Христово, Рождество Богородицы.
Верно: девятое мая - День Победы; отмечать День Победы девятого мая.
Возможны оба варианта.
Терминологическое сочетание мужского рода в этих предложениях играет роль именной части составного именного сказуемого: Слово «день» мужского рода. В параграфе 5.10 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя указано, что в таких случаях тире обычно не ставится (сравним приводимые там примеры, подобные Вашему: Небо без единого облачка; Люди здесь необыкновенной доброты), однако существуют условия для его постановки, например логическое и интонационное членение предложения или параллелизм строения его частей, сравним: Слово «день» — мужского рода, а «ночь» — женского.
Сочетание на сегодняшний день является обстоятельством времени и не требует обособления.
Оба варианта правильны.
В современном русском языке это непроизводное слово, поэтому способ словообразования назвать нельзя.
Да, будя – правильная форма деепричастия от глагола будить.
Варианты равноправны.
