Возможный вариант: дата приема на работу должна предшествовать дате увольнения.

Зададимся сначала вопросом: зачем мы определяем, к какому спряжению относится глагол? С единственной целью: узнать, как правильно писать безударные личные окончания глаголов. Поэтому спряжение определяется по неопределенной форме только у глаголов с безударными личными окончаниями, и исключениями являются глаголы с безударными личными окончаниями. Если же личные окончания глагола ударные, то никаких трудностей в написании они не вызывают, а следовательно, нам не надо думать о том, к какому типу спряжения относится глагол. У глаголов с ударными личными окончаниями спряжение и определяется по окончаниям. Поэтому глаголы пить, бить, жить, лить относятся к первому спряжению, а, например, такие слова, как греметь, звенеть, лететь, свистеть, гореть и мн. др. (у которых неопределенная форма оканчивается на -еть) – ко второму спряжению.

Деепричастия несовершенного вида есть не у всех глаголов НСВ; так, не образуются деепричастия НСВ:

— от глаголов на -чь: печь — *пекя(печа);
— от глаголов на -нуть: вянуть — *вяня;
— от некоторых глаголов на шипящий в основе настоящего времени: писать, пишут — *пиша, лижут — *лижа;
— от глаголов с основой настоящего времени, состоящей только из согласных, и производных от них: бить, бьют (бj-ут) —*бья.

Однако в реальности такая форма изредка используется в художественных текстах, например: Коснулось пропавшего без вести мужа Матрены, и золовкин муж, бья себя в грудь, доказывал мне...  [Александр Солженицын. Матренин двор (1960)]: Плясал, подлец, бья в алюминиевые ложки и распевая песню [Евгений Попов. Мелкие приключения Орла Орлова (1970-2000)] и др. 

Корректна строчная буква, а вот вопрос об использовании кавычек спорен. 

Нужно иметь в виду, что одна из главных функций кавычек — выделительная, то есть, заключая то или иное слово или сочетание слов в кавычки, пишущий стремится обратить на них внимание. Поэтому, в частности, часто выделяются кавычками слова, употребленные в условном, ироническом, образном, необычном и т. п. значении. Однако по мере того как подобные выражения становятся обиходными (широко употребительными) в кавычки они заключаются всё реже. Например, стали писать без кавычек: часы пик; голосовать за и против; работать на отлично; живая газета и др.

На наш взгляд, условные наименования орудий пыток типа "стул ведьмы", "железная дева", "испанский сапог", "медный бык" следует заключать в кавычки, чтобы не возникало путаницы с такими же словосочетаниями в их прямом значении. 

Корректно: Видео не должно быть долгим — максимум минута или полторы, не больше.

Сказуемые: прилетели и начали вить.

Оба варианта неудачны. Можно грамотно говорить, писать, изъясняться по-английски, по-русски.

Корректно: Вы можете быть уверены в надежном сотрудничестве с нами.   

Корректно: Отдых всегда должен быть рациональным, приносить пользу и являться радостью для души.