Корректные варианты: предложение о соавторстве, предложение стать соавтором.
Думаем, лучше сказать: подул ветер или стало ветрено.
Слово шелом, которое отмечено в русских говорах в значениях «навес», «конек» и др., восходит к др.-рус. слову шеломъ «шлем», как Вы справедливо написали, с полногласием.
Как и ст.-сл. шлѣмъ (с тем же значением «шлем», но с неполногласием), заимствованное в русский литературный язык, оно, в свою очередь, восходит к праслав. *šelmъ, которое было заимствовано из др.-герм. *helmaz первоначально в виде *xelmъ. Еще до развития полногласия в этом слове начальный твердый заднеязычный *х перешел в мягкий *š́ в
результате праславянского фонетического изменения, известного как первая палатализация, что, видимо, было вызвано сугубой твердостью (сильной веляризацией) др.-рус. *l (=[ɫ]). Накануне возникновения полногласия в древнерусском языке происходило еще одно фонетическое изменение: *el в положении между твердыми согласными переходил в *ol. Так, псл. *melko давало в др.-рус. сначала *molko, из которого позднее в процессе развития полногласия появлялось др.-рус. и совр. рус. молоко (ср. псл. *xoldъ, *gold, *golva > холод, голод, голова и т. п.). В слове же *š́elmъ изменению *el > *ol мешала мягкость предшествующего /š́/, в то время как развитию вставного /о/ после она не
мешала. Отсюда и получилось др.-рус. шеломъ, а не шоломъ: псл. *xelmъ > *š́elmъ > шеломъ. Форма с о поcле ш – шолом – также могла появиться в говорах русского языка, но это происходило позднее и было связано уже с другим изменением – переходом /е/ в /о/ перед твердыми согласными.
Стала любить - корректно в знач. "начала любить, полюбила".
Чтобы эта конструкция стала предложением, в неё нужно добавить глагол-сказуемое.
Корректно: Я подумала, что, наверное, и производители хотят стать лучше.
Зашориться – разг. стать неспособным к восприятию, оценке иной точки зрения.
В значении "опуститься, стать на колени" - преклонить колени (колена).
Можно сказать: заниматься репетиторством с кем-либо, стать репетитором для кого-либо.
Правильно: После того как Лоне закончила, она стала готовить ужин.
