Правильно: пол православной Москвы.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Такое оформление корректно.
Верно: работает в должности директора, работает директором, занимает должность директора.
Этот процесс называют освоением заимствования.
Предложение нужно переформулировать.
В подобных случаях возможны разные способы оформления. Выбор зависит от типа издания. В научной и учебной литературе более употребительны такие приемы: звук [а], буква е, слово дом. В публицистическом тексте возможно выделение кавычками.
Вы написали правильно. В обороте пол столовой ложки часть пол относится к целому сочетанию столовой ложки.
Названия, написанные латиницей, в текстах на русском языке обычно не заключаются в кавычки: правоохранители поставили номер под хит Thriller.
Правильно: Он записывал все, что ни подвернется под перо.
