Если капусту квасили отдельно, а потом добавили свеклу, то верно: квашеная капуста со свеклой.
Верно: Иванова - один из выдающихся деятелей.
Арт - первая часть сложного слова. В данном случае пишется через дефис: арт-гостиная.
Верно: заслуживающий уважения, вызывающий удивление (но не вызывающий уважение).
См. ответ на вопрос 249526.
Лучше: о соотношении между ценой и качеством.
Верно: парикмахерская.
Фамилии склоняются по первому склонению: Пикулы, Пикуле, Пикулу, Пикулой, о Пикуле.
Корректно раздельное написание: фальшиво добродушный.
В сочетании день рождения представлен тип подчинительной связи управление. Управление – подчинительная связь, при которой от главного слова зависит существительное или местоимение в форме определенного падежа с предлогом или без него, напр.: чтение (чего?) книги, закат (чего?) солнца. При изменении по числам и падежам главного слова зависимое слово в таких словосочетаниях не изменяется: чтением книги, закатом солнца, днем рождения.
