Конечно, это однокоренные слова. Но при образовании слов утиный, утенок происходит отсечение концовки мотивирующего слова (слова утка). Корень в однокоренных словах может выглядеть немного по-разному из-за разных процессов, происходящих при образованни слов.

Здесь происходит усечение основы мотивирующего слова. Перед морфом -ск- отсекается финаль -к- (в несклоняемых сущ. -ко) основ нерусских топонимов и этнонимов на -ск, -ско: Дамаск - дамасский, этруски - этрусский, Сан-Франциско - сан-францисский.

Здесь нельзя подобрать проверочное слово; надо запомнить, что в образованиях от глаголов платить и молиться происходит мена гласных и–е: плати-ть – плате-льщик, моли-ть-ся – моле-льный (дом). Это весьма редкое явление для русского отглагольного словообразования. 

Слово дискор зафиксировано в словаре «Новые слова и значения: Словарь-справочник по материалам прессы и литературы 1980-х годов» (СПб., 1997). Словарь сообщает, что означает это слово 'ведущий дискотеки, диск-жокей', а происходит оно от диск-корреспондент.

Прилагательное лиловатый образовано с помощью суффикса -оват-. Здесь происходит совмещение корня и суффикса (выражаясь сухим научным языком: суффиксальный морф совмещается с финалью мотивирующей основы), т. е. ов одновременно принадлежит корню лилов- и суффиксу -оват-.

Правильно: карате. Это слово испытывало колебания в написании (что часто происходит с заимствованными словами в процессе их освоения языком), поэтому в словарях встречаются разные варианты. Однако академический «Русский орфографический словарь» фиксирует только написание карате.

Галифе и бигуди – существительные pluralia tantum (имеющие формы только множественного числа). Во множественном числе противопоставление по роду не выявлено. При употреблении с прилагательными в форме единственного числа согласование происходит по среднему роду: форменное галифе.

Правильно: суфф. Двойные согласные перед точкой сохраняются (терр. – территория; асс. – ассистент), однако если удвоение происходит на стыке морфем, то сохраняется только одна согласная (рус. – русский; стен. – стенной; листвен. – лиственный). 

Это слово испытывало колебания в написании (что часто происходит с заимствованными словами), но совсем недавно получило официальную «прописку» в языке в виде словарной фиксации. 4-м изданием «Русского орфографического словаря» РАН (М., 2012) установлено слитное написание: чизкейк.

Если слова раз и два кто-то произносит, то будет корректно заключить их в кавычки. Тире уместно, так как каждая из частей конструкции близка к бессоюзному сложному предложению, сравним: Скажешь «раз» — взойдет солнце, скажешь «два» — уйдет туман.