Эти фамилии склоняются так же: Довгия, Путния; Довгию, Путнию; Довгия, Путния; Довгием, Путнием; о Довгии, о Путнии.

Это и правда непростой случай (написание наречий часто вызывает затруднения у пишущих). Правило сформулировано так: пишутся слитно наречия с пространственным и временным значением, имеющие в своем составе существительные верх, низ, перед, зад, бок, высь, глубь, даль, близь, ширь, век, начало. Но возникает проблема различения слитно пишущихся наречий и совпадающих с ними в буквенном составе, но пишущихся раздельно сочетаний предлогов с другими словами. При этом слитное написание возможно и при наличии пояснительных слов (вверху письма, внизу двери). Так что это не главный критерий, существенную роль играет контекст.

Что касается пары в начале – вначале: если слово отвечает на вопрос «когда», если его можно заменить наречиями сначала, сперва, значит, перед нами наречие, надо писать слитно. И здесь приведенные Вами фразы ведут себя по-разному. Можно сказать «сначала у нас было много неподготовленных атак», «сперва у нас было много неподготовленных атак», но вряд ли можно сказать «0:2 сначала – тяжелый удар», «0:2 сперва – тяжелый удар». Поэтому мы согласны с Вами: в первом примере корректно раздельное написание (т. к. имеется в виду «0:2 в начале матча», хоть слово «матча» и опущено), а во втором примере – слитное (здесь именно наречие вначале).

В зависимости от значения слово фреш может употребляться и как склоняемое существительное, и как неизменяемое слово («Русский орфографический словарь» РАН фиксирует: фреш, -а и неизм.). Ср.: стакан фреша (сока) и продукты категории фреш.

Если возникают сомнения, как склоняются сложные слова, лучше проверять каждый пример по словарю. В данном случае склоняются обе части: галстука-бабочки.

Верное написание: в сочетании с.

Эта фамилия склоняется как нарицательное существительное первого школьного склонения (как слово мама).

Правы и Вы, и Ваша коллега. Согласно «Грамматическому словарю русского языка» А. А. Зализняка, слово кукла в значении 'игрушка' может употребляться и как одушевленное, и как неодушевленное существительное. А вот кукла в значении 'человек' (куклой можно назвать бездушного и пустого человека, а также человека, слепо действующего по воле другого) – только одушевленное.

Существительные употребляются в форме множественного числа при наличии однородных определений, например: в X и XI столетиях. В данном случае однородных определений нет, поэтому существительное употребляется в единственном числе: в конце X – начале XI столетия.

Допустимы оба варианта, но лучше выбрать собирательное числительное (двое), т. к. здесь употребляется субстантивированное существительное (рабочий).

Из первых двух вариантов корректно: просто в использовании.