Если в этот фразеологизм вставить прилагательное, то он перестанет быть фразеологизмом.
Мягкий К в абсолютном конце слова без мягкого знака – такое невозможно в принципе, поскольку в русском письме нет особых букв для обозначения твердых и мягких согласных. На мягкость парного согласного указывает следующая за ним буква (а именно: я, ю, е, ё, и), а на конце слова (или перед твердым согласным) – мягкий знак. Только непарные по твердости–мягкости согласные не нуждаются в обозначении твердости или мягкости с помощью следующей буквы. Т. к. согласный к парный (к – к'), обозначить его мягкость на конце слова можно только мягким знаком. (Отметим в скобках, что и слово на -кь подобрать затруднительно – такое буквосочетание на конце слова возможно лишь при передаче иноязычных имен собственных – и это не случайно, ведь очень долго в русском языке согласные к, г, х были твердыми.)
Верно: Рембрандт.
Фактически - и то и другое происходит постоянно.
С точки зрения авторов толковых словарей варианты равноправны. Однако в справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» приведена такая рекомендация: с помощью – обычно при указании орудия, средства совершения действия, при помощи – при указании лица.
Ответим только на первый вопрос: в русском языке такое слово есть.
Такое слово существует, но является просторечием, не входит в состав современного русского литературного языка. В речи грамотного человека его употребление недопустимо.
Разница принципиальна. Дефис - орфографический знак, тире - знак пунктуационный.
Смысловой разницы нет.
