Верно: съела полторы банки варенья. Таково склонение слова полтора. Форма винительного падежа женского рода: полторы (банки), форма винительного падежа мужского и среднего рода: полтора (батона, яблока).

Форма две сочетается со словами женского рода: две девочки, две деревни, две диссертации. Со словами мужского и среднего рода сочетается форма два: два мужчины, два портрета, два яблока. 

Да, имеется в виду: перед гласными звуками. Буквы е, ё, ю, я обозначают два звука: согласный j и гласные э, о, у, а. Слова его, яблоке начинаются с согласного звука, поэтому перед ними употребляется предлог о.

Правильно: ГАУК «Театр» заключило договор. Согласование — с родовым словом, в данном случае с опорным словом аббревиатуры (учреждение... заключило). Ср.: кинотеатр «Победа» был построен (не была построена), партия «Яблоко» была основана (не было основано).

Правильно: в случае неподтверждения.

Общую рекомендацию дать нельзя. Выбор написания будет предопределяться в каждом конкретном случае контекстом: в одном случае переводная фраза может осмысляться как название, в другом — как толкование значения. В первой приведенной Вами фразе видится возможным двоякое осмысление и, соответственно, написание: Японию часто называют Land of the Rising Sun — Страна восходящего солнца (название) и Японию часто называют Land of the Rising Sun — «страна восходящего солнца» (= что означает...). Во втором примере вводится переводное название, которое оформляется кавычками: американская компания Apple (в переводе — «Яблоко»). 

Правильно в кавычках: парк "Ладожские шхеры". 

См. в "Письмовнике": Реальные собственные имена и условные наименования различаются синтаксической сочетаемостью. Ср.: Большой театр, Театр сатиры, Театр на Юго-Западе – это реальные собственные имена, в них присутствует синтаксическая сочетаемость, кавычки не нужны. Но: театр «Современник», театр «Школа современной пьесы» – условные наименования, не сочетающиеся синтаксически с родовым словом. Они заключаются в кавычки. Аналогично: парк Дружбы, но: парк «Сокольники», Коммунистическая партия Российской Федерации, но: партия «Яблоко» и т. д.

Давайте прислушаемся к тому, как звучит слово. После ударного гласного [а] перед безударным гласным чистый согласный звук [j] (й) не произносится. Сравните со словами, где звук [j] предшествует ударному гласному: яблоко, поем, бьют. Перед безударным гласным звук [j] превращается в звук, по качеству очень близкий к гласному [и]. В лингвистике его называют «и неслоговой». Но этот звук фактически сливается с последующим гласным, который произносится как нечто среднее между [и] и [э], более близим к [и].

В школе при выполнении фонетического разбора такие тонкости звучания чаще не учитываются, поэтому указывают, что буква е после гласного вне зависимости от ударной или безударной позиции обозначает два звука [j] и [и].