Верно: один из первых в России частных университетов; Частный университет, один из первых в России...
Правильно: без толку.
Возможные варианты: Мы пресс-центр смены, и сегодня мы издали первый выпуск газеты и Мы, пресс-центр смены, сегодня издали первый выпуск газеты.
Возможны оба варианта.
Предпочтительно: между первым и пятым днем процесса наступает переломный момент. (Но: Первый и пятый дни процесса прошли спокойно.)
Можно поставить тире перед "бесплатно".
В непринужденной устной речи можно сказать: лекарство от нервов. В стилистически нейтральных контекстах нужны другие конструкции, например: успокоительное средство, препарат для восстановления нервной системы и т. д.
Да, мужская фамилия Котяк склоняется: Котяка, Котяку и т. д. Женская фамилия Котяк не склоняется.
