Ответить на Ваш вопрос мы попросили д. ф. н. М. Я. Дымарского.
Сказуемое здесь — остаются при своем мнении. Грамматически это составное именное сказуемое, в котором остаются — полузнаменательная связка, а именная часть выражена устойчивым словосочетанием при своем мнении. Действительно, оставаться при своем мнении считается фразеологизмом: так, в пособии "Словарь русской фразеологии. Историко-этимологический справочник" (авторы А. К. Бирих, В. М. Мокиенко, Л. И. Степанова; СПб., 1998) читаем:
«МНЕНИЕ. Оставаться при своем мнении. Не изменять своего мнения. Калька с лат. in sententia manere. Выражение восходит к словам <...> Цицерона».
Верно: я ни при чем.
Корректно: ...при повреждении, порче или утрате билета. Обратите внимание: повреждение и порча – это одно и то же, поэтому одно из слов стоит из предложения убрать.
Корректно: Они заходили в каюту, только чтобы рассказать о своих путешествиях.
Ни один из предложенных Вами вариантов не является правильным. Верно: дупел.
Верно: Слишком не уверены в своих мыслях были сами люди.
В официальной речи возможны оба варианта.
Запятые не требуются. Можно поставить тире после рыба.
Верно слитное написание: притом Иван полностью уверен...