Сомнительно сочетание "на всех годах". Какой именно смысл нужно выразить?
Правильно: кафедра... методики обучения (чему?) информатикЕ.
Причастия, прилагательные, глагольные формы прошедшего времени в таких случаях согласуются с именем (фамилией) человека, а не с приложением: Петрову, направленную на обучение...
Правильны оба варианта, только в первом после слова письма тоже необходима запятая.
Орфографически верно: с гашишем.
Это определяется внутрикорпоративными правилами оформления документов подобного типа, но полагаем, что повторение не будет лишним.
Кавычки не требуются. Возможны варианты заголовка как с вопросительным знаком, так и без него.
Все эти варианты отличаются канцелярской окраской. Лучше всего сказать так: учителя учатся сажать деревья.
