Верно: (династия) Османов.
Если мы выполним это задание, то вряд ли это можно будет считать Вашей подготовкой к олимпиаде.
В школьной методике преподавания русского языка такой вывод в принципе возможен. Но он слабо отражает реальное положение дел. Правильнее было бы обойти этот вопрос в школе, чтобы потом вернуться к нему в вузе (т. е. решить его, руководствуясь более обширными знаниями о морфемных исторических чередованиях).
Запятая не нужна.
При существительных женского рода, зависящих от числительных два, три, четыре (а также от составных числительных, оканчивающихся на указанные цифры), определение, находящееся между числительным и существительным, ставится, как правило, в форме именительного (или совпадающего с ним винительного при неодушевленных существительных) падежа множественного числа. Таким образом, предпочтительно: две новые воительницы.
Новый год пишется с прописной только как название праздника. В значении 'наступающий год; следующий год' правильно написание со строчной: Успехов в новом году!
Официально: наш новый губернатор такая-то. Неофициально, в разговорной речи возможно: наша новая губернатор такая-то.
Трудно судить о правильности по отдельным фрагментам. Нужно видеть более обширный контекст.
