Следует писать строчными: с днем рождения.
Слово дом в знач. 'модный дом' или 'ювелирный дом' лучше писать с маленькой буквы.
С днем рождения - общеупотребительный вариант. С днем рожденья - разговорный.
Корректно употребление предлога на: дом на холмах, провести лето на холмах.
Д. Э. Розенталь пишет, что употребление предлога в в пространственном значении связано с представлением об ограниченном пространстве, а при отсутствии этого значения употребляется предлог на (холмы — местность без точно очерченных границ).
Да, здесь должно быть с прописной: Пушкинский Дом. Исправлено. Спасибо за замечание!
Правильно: Интернет в дом, офис, на склад. Пропуск предлога недопустим, т. к. перед последним словом нужен другой предлог (не предлог в).
Запятые не требуются.
