Правильное притяжательное прилагательное от имени Глеб — Глебова.
Верный вариант: Грузия скорбит по Илии II.
Да, можно.
Провести квиз — несогласованное определение, образующее вместе с существительным словосочетание: идея (какая?) провести квиз. Соответственно, знаки препинания в предложении не требуются. Пунктуационное оформление несогласованных определений, выраженных инфинитивом, описано в параграфе 60 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
Имея в виду исследование, так и нужно написать: исследование.
Кожаная повязка, повязка из кожи — так обычно ясно и понятно выражают то, что имеется в виду. Ваш вариант не подразумевает того, что выражают эти грамматические конструкции.
Требуется запятая перед вторым и: Гель-воск обладает свойствами и воска, и геля одновременно.
В разговорной речи - корректно.
