Разница прежде всего в том, что ПТУ – буквенная аббревиатура (т. е. читается по названиям букв: [пэтэу]), а вуз – звуковая (т. е. читается не по названиям букв – [вэузэ] – а как обычное слово). Впрочем, подавляющее большинство аббревиатур – и буквенных, и звуковых – пишутся прописными буквами. Строчными буквами пишутся только некоторые (немногие) звуковые аббревиатуры, давно существующие в языке и воспринимаемые уже не как аббревиатуры, а как обычные слова: вуз, втуз, дот (от долговременная огневая точка), дзот. Отдельные звуковые аббревиатуры могут писаться и прописными, и строчными буквами: ЗАГС и загс. Отдельные буквенные аббревиатуры могут писаться двояко – по буквам и по их названиям: БТР и бэтээр. В случае возникновения сомнений следует обращаться к орфографическому словарю.

Из истории: традиции написания аббревиатуры вуз строчными буквами – уже более полувека. В «Справочнике по орфографии и пунктуации для работников печати» К. И. Былинского и Н. Н. Никольского (М., 1952) читаем: «...Сложные сокращенные слова, обозначающие нарицательное имя и читаемые не по названиям букв, а как обычные слова, пишутся строчными буквами: вуз, вузы, нэп, при нэпе и др.». 

Это перифраз выражения валять дурака (заниматься ерундой).

Название должно склоняться и записываться в кавычках: благодаря «Арбидолу». 

В значении "заниматься сельскохозяйственным трудом" правильно: работать в поле.

Можно сказать: заниматься репетиторством с кем-либо, стать репетитором для кого-либо.

Лучше: подписаться под заявлением, расписаться на заявлении, поставить подпись в заявлении.

Подписаться - поставить свою подпись. Расписаться - поставить свою подпись, удостоверяя что-л.

Верно: создавать дизайн, заниматься дизайном. Глагол дизайнить пока не вошел в литературный язык.

Переливать из пустого в порожнее - заниматься никчемным делом, пустой болтовней и т. п.

Как правило, предикативом называют слово, употребляемое в функции сказуемого, например: Мне недосуг этим заниматься.