Необходимости использовать кавычки нет, выражение достаточно устойчиво и распространено в русском языке.
Ошибка здесь: оплатить за. Так нельзя говорить и писать. Правильно: оплатить что-либо, заплатить за что-либо.
Сочетание грамматически некорректно, так как слова обучение и совершенствование требуют разных падежей от зависимого существительного: обучение (чему?) технике и совершенствование (чего?) техники. Возможно такое сочетание: обучение технике чего-то (например, плавания) и ее совершенствование.
Слово не зафиксировано академическим орфографическим словарем. Корректно слитное написание.
Лучше: в Москве.
Указанные запятые не нужны.
Если имеется в виду, что задачи решались гениально, то запятая не нужна: Решали задачи как настоящие гении.
Петр, прописных букв явно слишком много.
