СО РАН (отделение) обязано.
Название института предпочтительно заключить в кавычки и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт физики твердого тела», Учреждению Российской академии наук «Институт физики твердого тела», Учреждением Российской академии наук «Институт физики твердого тела».
Корректно без запятых в обоих случаях.
По правилам тире не требуется.
Написание проверяется в словарном порядке. Это слово словарное.
Правильно.
Вероятно, автор имел в виду глагол корпеть и хотел написать корпеют – это часто встречающаяся ошибочная форма от корпеть (правильно: корпят).
Сочетание Всероссийская олимпиада пишется с прописной буквы, только если словом Всероссийская начинается официальное полное название конкретной олимпиады.
Кавычки не требуются.
Верная пунктуация: Это технология, а возможно, даже наука. Написание без запятой некорректно.
