Да, обязательна.
Правильно: автомотовелогонки.
Можно, но только в разговорной речи.
Корректно: Но в горах нужно быть начеку, ведь здесь явно работают другие законы.
Все названные прилагательные имеют значение ‘содержащийся в бочках’ и могут быть употреблены в контекстах типа бочечный / бочковый / бочковой квас. При этом прилагательное бочечный в указанном значении выходит из употребления, а в конкуренции бочковый / бочковой побеждает второй вариант. Об этом свидетельствуют и словари, и данные Национального корпуса русского языка.
Название бренда не требуется заключать в кавычки: бренд одежды Strana. Использование латиницы в кириллическом тексте само по себе является достаточным средством выделения, поэтому кавычки для названий, написанных латиницей, не используются.
Нужно добавить родовое слово: Девушки включили фильм «Гарри Поттер и философский камень».
Запятая ставится, поскольку на промысле — это уточнение.
