Верно без запятой: Студент, едва не получивший тройку, начал спорить с преподавателем: «Я правда читал Платона» — и попросил дать ему ещё несколько минут на ответ.

Интересная точка зрения, однако едва ли можно говорить о том, что поэт "вернул" этот суффикс в активное употребление. В русском литературном языке достаточно слов, обозначающих лиц женского пола и оканчивающихся на -иня/ыня: береги́ня, боги́ня, княги́ня, враги́ня, герои́ня, герцоги́ня, графи́ня, доги́ня (от дог), и́нокиня, йоги́ня, мона́хиня, шахи́ня, ба́рыня, боя́рыня, госуда́рыня, гусы́ня, рабы́ня, суда́рыня...

Вы написали окончания правильно. Географические названия на -ов (-ев), -ово (-ево), -ин, -ино (-ыно) имеют в творительном падеже окончание -ом, например: Львов – Львовом, Канев – Каневом, Крюково – Крюковом, Камышин – Камышином, Марьино – Марьином, Голицыно – Голицыном.

В отличие от названий городов русские фамилии на -ин (-ын) и на -ов (-ев) имеют в творительном падеже единственного числа окончание -ым, ср.: Пушкин (фамилия) – Пушкиным и Пушкин (город) – Пушкином; Александров (фамилия) – Александровым и Александров (город) – Александровом.

Слово сотрудница, конечно, существует, и оно фиксируется словарями (см., например, «Русский орфографический словарь» и «Большой толковый словарь русского языка»). Предложение  Сотрудница вошла в зал и обратилась ко мне корректно.

В деловой речи предпочтительно использовать номенклатурные обозначения должностей: лаборант, заведующий кафедрой, продавец, кассир. Возможно и употребление слова сотрудник. См. также «Письмовник».

Да, это корректное оформление. В данном случае авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, см. примечание 2 к параграфу 48 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя.

В разговорной речи выражение с пустого места обычно употребляется в описаниях чьей-либо созидательной деятельности и в сочетании с тематически близкими глаголами, такими как начать, приступать, организовать, формировать, например: с пустого места дело начали; начинать не с пустого места; приступаем к расследованию не с пустого места; с пустого места дело не поставишь; страна, возникающая в каком-то смысле с пустого места . Кроме того, выражение может быть использовано в рассуждениях о причинах (началах) чего-либо, часто в конструкции с отрицанием: не с пустого места что-то взять (взялось); уверенность бралась не с пустого места; с пустого места чуть не наклепал (в значении 'оговорил, ложно обвинил'). Возможно, встретившиеся Вам примеры отличаются от приведенных, но, увы, судить об этом нельзя, так как ни один из них не упомянут.

О населенных пунктах, аэропортах: вслед за Шереметьевом и Домодедовом.

О мужских фамилиях: вслед за Шереметьевым и Домодедовым.

Географические названия на -ов (-ев), -ово (-ево), -ин, -ино (-ыно) имеют в творительном падеже окончание -ом, например: Львов – Львовом, Канев – Каневом, Крюково – Крюковом, Камышин – Камышином, Марьино – Марьином, Голицыно – Голицыном.

В отличие от названий городов русские фамилии на -ин (-ын) и на -ов (-ев) имеют в творительном падеже единственного числа окончание -ым, ср.: Пушкин (фамилия) – Пушкиным и Пушкин (город) – Пушкином;Александров (фамилия) – Александровым и Александров (город) – Александровом.

Правила таковы.

Географические названия на -ов (-ев), -ово (-ево), -ин, -ино (-ыно) имеют в творительном падеже окончание -ом, например: Львов – Львовом, Канев – Каневом, Крюково – Крюковом, Камышин – Камышином, Марьино – Марьином, Голицыно – Голицыном.

В отличие от названий городов русские фамилии на -ин (-ын) и на -ов (-ев) имеют в творительном падеже единственного числа окончание -ым, ср.: Пушкин (фамилия) – Пушкиным и Пушкин (город) – Пушкином; Александров (фамилия) – Александровым и Александров (город) – Александровом.

Однако иностранные фамилии на -ин, -ов имеют в творительном падеже окончание -ом: Дарвином, Гершвином, Чаплином.

День — общеслав. индоевроп. характера (ср. др.-инд. dinam «день», лит. dienà — тж., этрусск. tin — тж., лат. nundinae «базарный день» и т. д.).

Деньги — заимств. из общетюркск. tanga/tenge (деньги, серебряные монеты). 

Поздно — общеслав. суф. производное от поздъ «поздний» (ср. диал. поздый, др.-рус. поздъ «поздно» и т. д.), суф. производного от той же основы, что и лат. post «после», алб. pas «после, следом» и т. д. 

Чередование о // а регулярно происходит в корнях глаголов при присоединении к ним суффикса -ива/-ыва (со значением длительного или регулярно повторяющегося действия): ходить/хаживать, носить/нашивать и т. п. Однако из этого правила есть исключения. Например, для пары оспоривать/оспаривать еще в первой половине XIX века был нормативен только первый вариант ("Хвалу и клевету приемли равнодушно / И не оспоривай глупца”, А. С. Пушкин). Сегодня нормативны только варианты приурочивать, уполномочивать, подытоживать, просрочивать, узаконивать, упрочивать.

Чередование т // ч также относится к историческим, оно происходило под влиянием звука [j], например: свет > свет + ja > свеча.