Обращение дети надо выделить запятыми: Ваш папочка, дети, козел.
Варианты различаются по значению. Д. Э. Розенталь в справочнике «Управление в русском языке» указывает: помнить кого-что 'сохранять в памяти в полном объеме'; помнить о ком-чем 'в общем виде, без подробностей'. Поэтому лучше, пожалуй: помнит Вас.
См. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации».
Да, можно сказать та русалка, что вместо та русалка, которая. Союзное слово что употребляется для присоединения придаточной части сложноподчинённого предложения, которая определяет соответствующее слово главной части, сообщает дополнительные сведения о названном им объекте (в том числе одушевленном). Ср.:
И мальчик, что играет на волынке,
И девочка, что свой плетет венок,
И две в лесу скрестившихся тропинки,
И в дальнем поле дальний огонек...
(А. Ахматова)
Пунктуация корректна. Это предложение с именительным темы, двоеточие в нем допустимо.
Перед прямой речью в конце предложения нужно двоеточие (высказывание «Кто там?», играющее роль приложения при существительном вопрос, оформляется только кавычками): ...на вопрос «Кто там?» отвечает: «Я».
