Корректно без кавычек.
Да, это условное название, кавычки нужны: карта «Тройка», записать билет на «Тройку».
Да, нужна прописная буква. Вы написали правильно.
Правильно строчными: в тутаевской массовой районной газете. Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с большой буквы, если они являются частью составных наименований – географических и административно-территориальных, индивидуальных имен людей, названий исторических эпох и событий, учреждений, архитектурных и др. памятников, военных округов и фронтов (например: Тутаевский район, Тутаевский моторный завод). В остальных случаях они пишутся с маленькой буквы.
См. ответ 262358.
В сочетании кофе арабика не нужны кавычки и прописные буквы.
Правильно написать без кавычек и со строчной буквы.
Правильно: кануть в Лету. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
См. ответ на вопрос № 274715.
Все слова в названии этой должности пишутся строчными.