О правильном написании этого слова говорить рано, оно пока не занесено в нормативные словари. Однако, учитывая общие орфографические правила русского языка и существующие разговорные слова и выражения типа быть на чиле или чилить (которые произносятся с одним звуком [л] и обычно пишутся с одной буквой л), можно предположить предпочтительное написание чил-зона (как гейм-зона, лаунж-зона, фан-зона).
Кавычки не нужны. Ср.: напишите букву эль.
Верно написание через дефис: брать-то у вас нечего.
Корректно: фу-ты ну-ты, ножки гнуты. Написание фу-ты ну-ты (без запятой) рекомендует орфографический словарь РАН.
Корректно без кавычек.
Нет, эти сочетания не заключаются в кавычки.
Сочетание дама сердца не требует постановки кавычек.
Кавычки не требуются.
Корректно: "оранжевая" колиция, "оранжевая" принцесса.