Ваше написание правильно.
Возможны варианты: склонять только вторую часть или склонять обе части. Например, в родительном падеже: прима-балерины и примы-балерины.
Слово не зафиксировано в академическом орфографическом словаре. Правилам соответствует слитное написание, ср.: копирайт, копигольд, фотовидеокамера, фотокинопромышленность.
Приведем словарную статью из Малого академического словаря: «ПШЮТ, -а, м. Разг. устар. Хлыщ, фат. Десять минут ожидания Татьяне Ивановне показались вечностью, особенно когда в ее уголок заглянули два ранних петербургских пшюта. Мамин-Сибиряк, Не мама. Выбритый, раздушенный, с закрученными кверху усами, лейтенант имел фатовый вид. Макаров поморщился, — он не переносил фатов и пшютов. Степанов, Порт-Артур».
Сложность в твердом или мягком произнесении согласного перед гласным? Правильно мягкое: т[р']ест.
Правильное написание: бомжатский.
Слово находится за пределами литературного языка. Орфографически корректен первый вариант. Ср.: бедняк — бедняцкий, казак — казацкий, плотник — плотницкий.
