Логику учебника проследить трудно. В школьной практике строгого разграничения таких случаев не проводится (в действительности функции обстоятельства и дополнения в этих примерах совмещены).

Конечно, это новое слово. Но при этом его значение идентично значению словосочетания, от которого оно образовано.

Это вопрос не о речевых ошибках, а о том, стоит ли повторять одно и то же в тексте сочинения. На наш взгляд, не стоит.

Примеров, точно соответствующих вашему, в справочниках нет. Также нет и разъяснений, что следует в пунктуации понимать под общим второстепенным членом. Не вызывает сомнений, что общим второстепенным членом может быть обстоятельство, которое относится ко всему составу предложения, распространяет его в целом. Но может ли общим второстепенным членом быть определение, которое относится к слову? Один из примеров, который приводит Д. Э. Розенталь, показывает, что все-таки может: Губы Кати не улыбались и тёмные глаза выражали недоумение (Т.). В этом предложении есть второстепенный член, который указывает на принадлежность: губы Кати, глаза Кати. Полагаем, что это дает нам основания считать, что запятая в вашем предложении тоже не нужна. Отсутствие запятой коммуникативно значимо: оно подсказывает читателю, что части связаны каким-то общим компонентом.

С научной точки зрения считать правильным какой-то один из вариантов разбора этого слова некорректно, т. к. слово находится в стадии переосмысления его структуры. В школе учитель может придерживаться тех или иных принципов разбора слова по составу. Поэтому правильным для учителя будет тот вариант разбора, который соответствует принимаемым им принципам. И в средней общеобразовательной школе методически это правильно. К сожалению, в школьных учебниках не излагаются с достаточной четкостью какие-либо принципы морфемного анализа слова. И это объяснимо – слишком сложная задача. Сказать, какой вариант примет тот или иной преподаватель, мы не можем. Полагаем, что самое ценное – когда ученик может объяснить, опираясь на какие-либо законы языка, структуру слова. А обосновать в данном случае, как мы писали, возможно разные варианты разбора.

Буквенные аббревиатуры инициального типа в первой стадии своего образования имеют род стержневого слова: ИГИЛ стало (средний род по опорному слову государство); корректно согласование и в женском роде, если родовым словом считать слово организация: ИГИЛ (террористическая организация) запрещена в России.

Но и мужской род совсем исключать нельзя. Ведь чем чаще употребляется аббревиатура, чем более привычной она становится, тем больше вероятность, что она оторвется от соответствующего полного наименования и приобретет свойства обычного слова с иной родовой характеристикой. Так произошло, например, с аббревиатурами МИД, ЗАГС, которые приобрели форму мужского рода, хотя опорные слова принадлежат к другому роду (министерство, запись). Поэтому согласование с ИГИЛ определений и сказуемых в мужском роде тем вероятнее, чем чаще и дольше будет употребляться это сочетание.