Правильно: прошла половина лета.
Да, деепричастие образовано верно. Учась в школе — корректное сочетание.
Можно, но только в разговорной речи.
Предложение некорректно, его следует перестроить.
Так сказать можно, ошибки нет.
Это корень с чередованием. См. здесь.
В корне приведенных Вами слов есть чередование, но это особый тип чередования: перед суффиксом -ова-(-ева-) появляется ударная а, хотя в других случаях пишется проверяемая о (ср.: опоздать — поздно — опаздывать, смотреть — смотр — высматривать, глотать — глотка — проглатывать). Такие корни описывают как особый случай основного правила о проверяемых безударных гласных и считают проверяемыми, но с ограничением на проверку: не проверять словами с суффиксом -ова-(-ева-). См., например, здесь.
Можно.
См. ответ на вопрос № 293002.
Сочетание составлено неверно, смысл его неясен.
