Это слово пишется строчными буквами, с прописной - только как заголовок документа.

В таком контексте слово случайно является вводным: А это не они, случайно?

В таких контекстах при чём — сочетание предлога с местоимением. Подробнее см. на сайте «Орфографическое комментирование русского словаря» (в поисковую строку нужно ввести слово причём, задав функции «Искать в заголовках статей» и «Искать в тексте статей»).

Написание состредоточиться является именно орфографической ошибкой, причем довольно типичной. Графическая ошибка – это ненормативное написание, противоречащее слоговому принципу графики и официально признанным отклонениям от него. Напр., такое написание, как *льук вместо люк нарушает правило графики, согласно которому мягкость парной согласной фонемы (в данном случае /l’/) перед гласной (в данном случае /u/) обозначается соответствующей йотированной гласной буквой (ю). Написания *дайут вместо дают или *бйут, *бьйут вместо бьют также содержат графические ошибки, т. к. сочетание /ju/ по правилам графики следует обозначать буквой ю. Графические ошибки имеет смысл отграничивать от орфографических, нарушающих правила, устанавливаемые орфографией. Так, написание ъ вместо ь в слове бьют (ср. *бъют) будет орфографической ошибкой, т. к. выбор между ъ и ь в качестве разделительных знаков определяется орфографией, которая устанавливает правила конкретных морфем и слов. Иногда графическими ошибками называют также нарушения в начертании букв (например, «n» вместо «и»).

Здесь действуют два разных правила. Экономкласс пишется слитно как сложносокращенное слово (ср.: канцтовары, драмкружок, жилплощадь). Бизнес-класс пишется через дефис по следующему правилу: сложные существительные и сочетания с однословным приложением, если в их состав входят самостоятельно употребляющиеся существительные и обе части или только вторая часть склоняются, пишутся через дефис.

Вуз — слово мужского рода. Написание строчными буквами сложилось исторически и ранее даже фиксировалось как нормативное для всех аббревиатур, «читаемых по звукам (а не по названиям букв) и обозначающих имена нарицательные» (см. «Правила русской орфографии и пунктуации» 1956 года). Однако возобладала обратная тенденция: звуковые инициальные аббревиатуры записывались прописными буквами, что было закреплено в «Правилах русской орфографии и пунктуации» 2006 года. Слово вуз и некоторые другие, закрепившиеся в написании строчными буквами, стали исключениями.  

Гласная непроверяемая. 

Правильно писать «Прошу предоставить отпуск в количестве 42 календарных дней».
 

Правильно раздельное написание: не серебряный, а...

Пунктуация корректна.