Если профессор – это звание, то запятая перед этим словом не нужна.
У слов глаз и глазунья общий корень, потому что смысловая связь между ними ощущается носителями языка. Глазунья – это яичница, в которой желток зажаривают целиком, не смешивая с белком, и он напоминает глаз. Слова глаз и глазунья можно назвать однокоренными и родственными.
Правильно со строчной: глава города.
Запятую нужно поставить, она выделяет сравнительный оборот, не являющийся частью сказуемого: Глаза мальчика сияли, словно у щенка, получившего лакомство.
Верно: натренированы.
Предложение корректно.
В значении 'на виду у кого-либо, в присутствии кого-либо' возможны варианты: на глазах у кого-либо и на глазах кого-либо. Вариант с предлогом у более употребителен.
Выбор предлога неверен, корректно: работать на транспорте, в московском транспортном предприятии.