Верно: правила техники безопасности. Управление правила по... ошибочно.
Правильно: согласно требованиям или в соотвествии с требованиями...
Да, верное управление: правила чего-либо, управление правила по чему-либо – ошибка. Она возникает из-за смешения синтаксических свойств существительных правило и инструкция, руководство. Инструкция по чему-либо, руководство по чему-либо – правильно; правила по чему-либо – некорректно.
Правило то же самое. С прописной буквы могут писаться некоторые нарицательные существительные в контекстах, где им приписывается особый высокий смысл: Родина, Отечество, Отчизна, Свобода, Добро, Честь, Человек, Учитель, Мастер и т. п.
Если это только часть предложения, то верно: Как бы на тебя ни давили...
Верно: правила пожарной безопасности.
Название организации следует писать в кавычках, в остальном пунктуация верна.
Жалиться – глагол второго спряжения (в неопределенной форме -ить-), поэтому пишется личное окончание -ят-.
