Если это только часть предложения, то верно: Как бы на тебя ни давили...
Правильно слитное написание.
Глагол купаться шире по значению. «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова определяет его так: погружаясь в воду, обмываться, плавать, плескаться. Так что на речке можно и купаться, и плавать.
Такие сочетания, безусловно, лексически избыточны, однако они получили настолько широкое распространение в современной речи (особенно канцелярской), что уже не считаются ошибочными. Впрочем, если стремиться к безупречности своей речи, слово месяце лучше опускать.
Оба предложения составлены верно.
Верно: не нужно обращать внимания...
Нужен родительный падеж. См.: http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=otr
Возможны оба варианта, но более употребителен вариант с род. падежом: не знать ответа.
