Оба предложения составлены верно.
Возможны оба варианта, но более употребителен вариант с род. падежом: не знать ответа.
Рекомендуем обратиться к Правилам.
Обычно пишут слитно, если далее не следует противопоставление.
Предпочтительно: не обращать внимания.
Запятая не нужна.
Первое предложение корректно как с отмеченной запятой, так и без нее. Обстоятельство рядом с белыми медведями можно считать уточнением к обстоятельству на Северном полюсе, а можно воспринимать конструкцию на Северном полюсе рядом с белыми медведями как единое обстоятельство. Таких примеров, допускающих двоякое прочтение, немало в русских текстах. См. также ответ на вопрос 318421.
Во втором предложении знак препинания — запятая или тире — в отмеченном месте нужен, это знак пояснения. Без него сочетание на Южном [полюсе] в Антарктиде будет подразумевать, что можно быть на Южном полюсе и при этом не быть в Антарктиде, а это противоречит общему географическому знанию.
Если нет зависимых слов и противопоставления, следует писать слитно.