2. Корректно как слитное, так и раздельное написание: неважна и не важна.
Орфографически верно слитное написание. Сложносокращенные слова пишутся слитно.
Буквально: не запачкаться, не замараться. В переносном смысле: не запятнать репутацию.
Оба варианта верны: ставропольцы и ставропольчане.
Вы правы в том, что кавычки употреблены неудачно. Если их и ставить, то закрыть нужно после фамилии. Однако при употреблении названия не в юридических документах в форме школа № 2129 имени Героя Советского Союза П.И. Романова кавычки не нужны вообще.
Ответ департамента образования тоже верен: нормы употребления кавычек не устанавливаются законодательно. Как записали название в уставе, так и будет оно воспроизводиться во всех документах. Чтобы изменить название, нужно произвести сложные юридические действия, на это нужна добрая воля руководителя организации и его руководства. Изменение даже только кавычек в названии влечет за собой множество юридических проблем, поэтому обычно названия сохраняют в том виде, в котором они уже закреплены.
