Действительно, Вы правы, невозможно сказать *избирать подарок или *избирать между городом и деревней, подобным же образом в современном русском языке только глагол выбирать употребляется в сочетаниях выбирать обувь, выбрать место съёмки, выбирать реквизит, выбрать имя ребёнка, выбирать нам не из чего, выбирай что хочешь, выбирать между чувством и долгом, из двух девушек выбрал блондинку, менеджер выбирает персонал и др. Вместе с тем многие сочетания с этими глаголами как будто бы  совпадают и вполне взаимозаменяемы в речи: выбрали/избрали метод опроса, выбрать/избрать политику, выбрать/избрать направление исследования, также можно выбрать или избрать вариант, объект, специальность, позицию, сценарий и т. п.
Такая взаимозаменяемость некоторых словосочетаний как будто бы даёт основание считать эти глаголы синонимичными. В действительности это не вполне так, их семантика существенно различается. Выбрать означает «выделив из ряда однотипных, отдать предпочтение кому-, чему-л.», в то время как глаголу избрать
свойственно значение «выделив из ряда однотипных, признать единственно возможным, не подлежащим сомнению или пересмотру». Поэтому синонимичность глаголов, якобы обусловленная взаимозаменяемостью этих пар сочетаний, оказывается ложной, их различия всегда обусловлены контекстом. Если я выбрал метод лечения, это значит, что предпочёл его другим, считаю его лучшим, но это не исключает возможности выбора другого метода. А если я избрал метод, то уже не сомневаюсь в его правильности и признаю его единственно возможным для себя. 
Что касается вопроса относительно соотношения рассматриваемых глаголов в значении «посредством голосования определить кого-л. куда-л., назначить кем-л.», то в этом значении они действительно  обнаруживают семантическую близость, но различаются стилистически – глагол избрать имеет официальный характер.

Под «устойчивыми сочетаниями слов» в отечественной лингвистической традиции принято понимать фразеологические (фразеологизованные) единицы языка, или фразеологизмы. Фразеологизмы противопоставляются свободным сочетаниям слов в двух аспектах: по признаку неделимости, целостности значения (смысловая целостность) и по признаку воспроизводимости в речи (синтаксическая целостность). При этом степень «свободы» слов в словосочетании может быть различной, с чем и связана практическая трудность разграничения «устойчивых« и «неустойчивых» словосочетаний. К числу фразеологизмов, таким образом, могут быть причислены как выражения, обозначающие один денотат и при этом регулярно воспроизводимые в речи (например, стиральная машина, дом отдыха), так и семантически неразложимые сочетания (например, бить баклуши - бездельничать, точить лясы - болтать). Последние принято также называть идиомами. Формальным критерием принадлежности словосочетания к числу фразеологизмов может быть его фиксация либо во фразеологическом словаре, либо в специальной фразеологической (или, иначе, заромбовой - от слова ромб, типографский знак) части словарной статьи толкового словаря. У глагола сбить значение 'нарушить правильность чего-либо, разладить' последовательно реализуется в ограниченном словесном окружении: сбить прицел, сбить настройку радиоприемника, сбить планы, сбить расчеты и т. п. Следовательно, сочетание сбить дыхание было бы правильнее отнести не к числу фразеологизованных сочетаний слов, а - несколько мягче - к числу «несвободных сочетаний слов». Окончательный ответ: сочетание сбить дыхание можно считать устойчивым лишь с большой натяжкой, принимая в качестве исходных некоторые необщезначимые положения лексической теории.