Предлог обо употребляется перед формами винительного падежа местоименных слов всё, всю, все, всех, что, что-либо, что-нибудь, что-то и перед формами предложного падежа местоименных слов мне, всём, всей, всех.
В разговорной речи, в устной форме речи можно встретить оба способа цитирования.
Оба варианта можно использовать в перечисленных Вами контекстах. Варианты равноправны.
Корректно: А потом, не сговариваясь, оба поехали поступать в медицинский институт в Нижний Новгород.
В таком случае запятая перед и не нужна.
Корректно: Она написана в жанре натюрморта.
Верно: таможенный союз (об объединении государств) и Таможенный союз в рамках Евразийского экономического сообщества (собственное наименование).
«Русским орфографическим словарем» РАН установлено написание с одной ф: офшор, офшорный.
Верно: Бердымухаммедов.
