Это союз.

В первую очередь отметим, что проблема слогораздела является одной из наиболее сложных в современной лингвистике и до конца не решенной. Это связано с отсутствием единого понимания сущности слога. Невозможность зафиксировать признаки слога как единого целого, фонетическая невыраженность границы между слогами приводит некоторых лингвистов к мысли, что слогораздела в русском языке вообще не существует. Ряд исследователей и  сам слог называют «фикцией».

Тем не менее наиболее распространены в современной русистике две теории слога. Они связаны с именами двух выдающихся советских языковедов – Р. И. Аванесова (Московская фонологическая школа) и Л. В. Щербы (Ленинградская фонологическая школа). Правила деления на слоги в этих двух теориях несколько различаются (так, слово кошка следует делить на слоги согласно теории Аванесова так: ко-шка, согласно теории Щербы так: кош-ка). Поэтому в разных учебниках правила слогоделения могут быть сформулированы по-разному, в зависимости от того, позицию какой фонологической школы разделяет автор учебника.

Однако если рассматривать конкретный пример – слово Спартак, то в любом случае его следует делить на слоги так: Спар-так. Обе теории сходятся на том, что если после сонорного согласного (в данном случае Р) следует парный по глухости / звонкости согласный (в данном случае Т), граница слогов проходит между ними. Слогоделение Спа-ртак нельзя считать правильным.

Правила деления на слоги, соответствующие традициям Московской фонологической школы, вы можете прочитать в пособии Е. Литневской, размещенном на нашем портале. Ссылка на печатное издание: Литневская Е. И. Русский язык: Краткий теоретический курс для школьников. М., 2006.

Нежареный следует писать слитно в обоих указанных случаях.

В этимологическом словаре М. Фасмера высказано предположение, что кошка могло быть образовано от слова коша  — уменьшительно-ласкательного к кот (подобно тому как образуются Маша от Марья, Паша от Павел и т. д.).

Для постановки запятой перед тире нет оснований. Однородные придаточные части, соединенные союзом и, достаточно отделить от главной части рассказываем в статье только с помощью тире (см. пункт 3 параграфа 124 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина): Почему кошка очень много пьет воду и какие причины могут скрываться за этим симптомом — рассказываем в статье.

Следует заключить в кавычки название спального мешка "Крым". 

Знаки препинания расставлены верно.

Это предложение с прямой речью внутри авторских слов. Правилен первый из приведенных Вами вариантов: Ирина взглянула на дверь: «Ну, кошка! Опять разодрала её?» — и отвела взгляд, стараясь не кипятиться.

Аллюзию на выражение выжимать соки усмотреть можно, однако в целом в этом высказывании глагол выжимать употреблен в своем переносном значении 'добиваться настойчиво какого-л. результата, извлекая, получая пользу для себя, прилагая усилия, словно сжимая, сдавливая, заставляя выходить наружу что-л. жидкое, нетвердой консистенции'. Например: Боясь опоздать к отходу поезда, он выжимал все что можно из своего старенького «Запорожца».

Слова сама по себе не изменяются по падежам: нет кошки, которая гуляет сама по себе, вижу кошку, которая гуляет сама по себе.