Правильно: премировать куратора Иванову Анну.
В таких случаях сказуемое находится в форме ед. ч. и согласуется с ближайшим подлежащим: На его гербе была не шпага и не корона, а белка. Сравним примеры из параграфа 190 «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию»: Меня угнетала не боль, а тяжелое, тупое недоумение (Горький); Опубликован роман, а не повесть, Опубликован не роман, а повесть; Это была не разведка, а настоящее сражение.
Корректно: святая гора Афон, Святая гора.
Верно: назначить уполномоченным по качеству Петрову Анну.
Словарь имён собственных
Фамилия Шашура (мужская и женская) склоняется. Фамилия Бакун (мужская) также склоняется.
Правильно: не "Анну..." ли "...Каренину" вы читаете? Не "Времена..." ли "...года" вы слушаете?
Фамилии на -ия склоняются (и мужские, и женские). Правильно: у Анны Нарсии, Анну Нарсию, с Анной Нарсией.
Мужская фамилия Башун склоняется как существительное м. р. второго склонения (Башуна, Башуну и т. д.), женская фамилия не склоняется.
