Верно: сок, выделившийся при запекании; на жире, выделившемся при запекании.
Запятая не нужна (оборот тесно связан со сказуемым).
Правильно: говорить на каком-либо языке, например: говорить на русском языке, говорить на родном языке; с наречием: говорить по-русски.
Вариант с творительным падежом возможен только в устойчивом обороте русским языком говорить 'говорить ясно, понятно', например: Вам говорят русским языком, имение ваше продается, а вы точно не понимаете (А. Чехов, Вишневый сад).
Корректно: Школьники занимаются по особой, углубленной программе.
См. в «Словаре трудностей».
Пивеню - правильно. А вот фамилии с конечным О в русском литературном языке не склоняются.
Пивеню – правильно. А фамилия Игнатко не склоняется (ни мужская, ни женская).
Нормы русского языка таковы: все фамилии (мужские и женские), кончающиеся на неударное а после согласных, склоняются по первому склонению. Подробнее о правилах склонения фамилий см. здесь.
Варианты слегка различаются. При обозначении совместного действия более употребительны в роли подлежащего конструкции типа "мы с тобой", "мы с сыном", "мы с ним" и т. п. в значении "я плюс кто-то еще". Но ср.: Я с сыном займусь алгеброй, а ты с ним займись русским языком (здесь слова "с сыном" и "с ним" не входят в состав подлежащего, а выступают в роли дополнения).
Да, фамилии грузинского происхождения на -ия склоняются (и мужские, и женские).
