Да, под горку то же, что с горки, т. е. вниз.
Запятая не нужна.
Возможны оба варианта. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике»: Единственное и множественное число сказуемого.
Такое употребление корректно.
Слово УАЗ склоняется: с УАЗом, к УАЗу и т. д.
Оба варианта корректны.
Верно: по большому счету. См. в «Русском орфографическом словаре» РАН.
Воспользуйтесь "Википедией" и онлайновой энциклопедией "РОЛ-Кругосвет".
Нет, к сожалению, такой оборот неудачен.
Здесь возможны варианты в зависимости от того, какой смысл хочет выразить автор. По существу может значить 'в сущности говоря' — в этом случае автор комментирует сочетание ничем не занимаясь, подчеркивая, что оно подходит для характеристики проведения времени в Париже; в таком употреблении это вводное сочетание. Но возможен и другой смысл: ничем по существу (не занимаясь) может значить 'ничем существенным (не занимаясь)'; в этом случае сочетание не вводное.