Ваши предположения верны: возврат и возвращение — однокоренные слова, второе можно проверить первым.
Такое слово словарями русского литературного языка не отмечается. Возможна замена на "приготовленные на гриле".
Ошибки нет, хотя, конечно, гражданин - это не звание.
В «Тезаурусе русских идиом» под ред. А. Н. Баранова и Д. О. Добровольского (М., 2018) приводятся выражения всё что угодно, всё что душе угодно, всё что душа пожелает со значениями 'все разновидности' и 'всё, что можно пожелать' (с. 91). Если те же значения имеет выражение всё что хочешь, то оно является также цельным по смыслу.
Выражение период охлаждения является устоявшимся термином и не является прямой речью, поэтому его не нужно заключать в кавычки. Это общепринятое понятие, используемое в определенной сфере, и его значение понятно без дополнительного контекста.
О гимнастическом упражнении обычно говорят: кручение обруча.
Вы написали правильно. Шарашкина контора (прост. пренебр.) – несолидное, не вызывающее доверия учреждение, предприятие, организация; сомнительное заведение. Притяжательное прилагательное шарашкина – от шарашка из диалектного шарань 'шваль, голытьба, жулье, сброд'. Шарашкина контора буквально – 'организация жуликов, обманщиков'.
Правильно именно так: с пылу с жару. Никакие знаки препинания не нужны.
Запятая не нужна.
Такое сочетание неудачно.
