Из Вашего вопроса не вполне ясно, на что именно должен быть пример. Если пример на употребление мягкого знака вообще, то с мышью всё в порядке: мягкий знак пишется на конце форм именительного падежа ед. числа существительных женского рода 3-го склонения. Если же нужен пример на употребление мягкого знака для обозначения мягкости парного согласного (на конце слова или в середине слова), подойдут, например, слова голубь и письмо.
Фраза неудачна. Можно перефразировать: Заплатите в три раза меньший штраф.
Где ему быть, как не здесь?
Запятая не требуется.
Может быть, поэтому он так рьяно принялся за работу.
Заглавные буквы не нужны.
Если это означает буквально "аргумент, признаваемый законом", то сочетание корректно.
В этом случае (между частями бессоюзного предложения) требуется тире.
Указанная запятая не требуется.
