Да, здесь правильно слитное написание.
Правильно: Каждый, попавший сюда со стороны, подвергался проверке.
Правильно: заведующая детским садом.
Здесь слово вообще употреблено в роли модальной частицы, сопровождающей недоуменный или возмущенный вопрос. Эта функция у вообще не отмечена словарями. Представляется, что в данном случае слово не нуждается в обособлении, так как интонационно оно не выделяется: Куда я попал вообще?
Должно бы, конечно, ставиться на первый слог, однако такое прилагательное нормативными словарями современного русского языка не зафиксировано.
Фраза построена правильно, но в ней есть пунктуационная ошибка. Корректно: Невозможно сбить с пути тех, кому всё равно, куда идти.
Корректны варианты: поднЯлся и поднялсЯ.
Запятая в этом сложноподчиненном предложении нужна: она отделяет главную часть от придаточной.
