Это вводные слова, указывающие на источник сообщения (т. е. на "народное мнение").

Значение прилагательного тотальный, от которого образовано наречие тотально, определеяется толковыми словарями так: «всеобъемлющий, всеобщий». Тотально безграмотный = абсолютно безграмотный, тотально талантливый = во всем талантливый. Конечно, в этих выражениях есть некоторая разговорность, но ошибочными их назвать нельзя.

Если смысл предложения в том, что энное заседание Думы является внеочередным (а не в том, что Дума собирается на внеочередное заседание в энный раз), то, безусловно, Вы правы.

Корректно: с новым, 2011 годом и Рождеством. Но: ...с Новым годом и Рождеством.

Примем во внимание грамматические особенности выражения: между пятым годом и шестнадцатым годом. Вывод: второй вариант корректен.

Орфографически верно написание полу де Голль. Имя де Голль пишется раздельно, слитное написание полу... с сочетанием слов невозможно.

Дубинноголовый образовано от сочетания слов дубинный и голова ('дубинная голова'), а машиностроительный от 'строить машины' (не 'машинное строительство').

Вы спрашиваете о синтаксическом разборе, поэтому аргументы из области того, что говорящий имеет в виду, недействительны. Говорящий своим ответом в самом деле сообщает о том, где кот, но делает это косвенным образом, полагая, что слушающий поймет: раз кот ест — значит, он на кухне у своей миски. Но это вывод слушающего из того, что сказано, и подменять собой члены предложения подобный вывод не может. Безусловно, ест — сказуемое.

Кстати, подобная экономия речевых усилий может быть и небезобидна. Если участники диалога находятся в некооперативных отношениях, то ответная реплика «Ест» может ввести собеседника в заблуждение: тот может подумать, что кот мирно ест из своей миски свой сухой корм, а на самом деле кот может доедать котлету, которую он утащил со сковородки собеседника (я с подобными разбойниками знаком, и о таких котах великолепно писал Паустовский). Последствия недоговоренности в таком случае могут быть весьма неприятны.