Оба варианта корректны, однако есть нюансы в значении. Форма множественного числа сказуемого показывает, что в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается двум равноправным субъектам. Форма единственного числа указывает на то, что подлежащим является только слово мама, а слово ребенком выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия (т. е. ребенка ведут гулять, он в данном случае не является самостоятельным субъектом действия).
Верно: Проведенные занятия по образовательным программам, (каким?) согласованным...
Следует писать со строчной.
Корректно раздельное написание. См. словарную статью в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».
Корректно: в целях обеспечения. Желательно избежать созвучия: обеспечения сопровождения.
Конечно, из Кореи. См. ответ на вопрос №312593.
Верно: взять интервью у кого-то, опубликовать интервью с кем-то.
См. «Словарь трудностей».
Правильно: аллюзия к чему-либо и (новое употребление, возникшее в результате смешения слов аллюзия и намек) аллюзия на что-либо. См.: Лазуткина Е. М. Словарь грамматической сочетаемости слов русского языка. М., 2012.
Рекомендации справочников (см., например, справочник Д. Э. Розенталя): с целью установить – в целях установления.
