Корректно: занято́й (! не рек. занятый...) в значении "постоянно обременённый делами".
Правильно: обновлены 2 523 организации.
Правильно: с 2 июня (с цифрой), со второго июня (при записи числительного буквами).
Правильно с дробным числом: 2,3 авторского листа. С двумя целыми числами: 2 (и) 3 авторских листа.
Правильно с предлогом С.
При существительных женского рода, зависящих от числительных два, три, четыре, определение, находящееся между числительным и существительным, чаще стоит в форме именительного падежа множественного числа. Грамматически правильно: две (три, четыре) новые новости. Сочетания, построенные по модели две (три, четыре) новых новости, возможны тоже. Обратите внимание: оборот новая новость тавтологичен.
Предпочтительно в ед. ч.
Оба варианта верны.
Перед цифрой употребляется предлог с: с 2 марта.
